Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan dan Fungsi Kuadrat By Yatini - 23 November 2020 Di kelas VII tentu teman-teman sudah belajar mengenai aljabar dan persamaan linier. Nah, kali ini adalah materi lanjutan dari materi persamaan liner yaitu persamaan kuadrat. Bagaimana bentuk persamaan kuadrat dan bagaimana serunya belajar persamaan kuadrat ini? Mari kita lihat materinya ya! Daftar Isi 1 Persamaan Kuadrat 1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran 1.2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna 1.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Berbentuk Pecahan 2 Rumus Persamaan Kuadrat 2.1 Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya 3 Grafik Fungsi Kuadrat 3.1 Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 3.2 Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 + c 3.3 Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bx 3.4 Grafik Fungsi Kuadrat 4 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum 4.1 Pergeseran Grafik Fungsi Kuadrat 5 Menentukan Fungsi Kuadrat 6 Rumus Fungsi Kuadrat 6.1 Rumus sumbu simetri dan nilai optimum 7 Aplikasi Fungsi Kuadrat 8 Contoh Soal Persamaan Kuadrat Persamaan Kuadrat Persamaan dan Fungsi Kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat satu peubah (variabel) dan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah dua. ax2 + bx + c = 0 Persamaan kuadrat juga sering disebut dengan persamaan pangkat dua. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Jika a = 0, persamaan tersebut bukan lagi persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat. Bentuk lain dari persamaan kuadrat adalah: Jika c = 0 → ax2 + bx = 0 disebut persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Jika b = 0 →ax2 + c = 0 disebut persamaan kuadrat bentuk asli. Baca juga: Kesebangunan dan Kekongruenan Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran Perkalian dengan nol akan menghasilkan nol. Sebaliknya, suatu perkalian apabila menghasilkan nol, pasti salah satu bilangan yang dikalikan bernilai nol. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran adalah sebagai berikut ini: Penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap dengan pemfaktoran 15x2 + 5x = 0 →5x (3x + 1) = 0, maka nilai x = 0 atau x = -1/3 Penyelesaian persamaan kuadrat bentuk asli dengan pemfaktoran x2 – 4 = 0 → (x – 2) (x + 2) = 0, maka nilai x = 2 atau x = -2 Penyelesaian persamaan kuadrat yang lengkap dengan pemfaktoran x2 + 5x + 6 = 0 → (x + 3) (x + 2) = 0, maka nilai x = -3 atau x = -2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Setiap bentuk persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambah atau mengurangi konstanta. Secara umum melengkapkan kuadrat sempurna adalah membentuk persamaan menjadi: (x – p)2 = q2 ⇔ x + p = ± q, sehingga diperoleh x1 = q – p dan x2 = –q – p Penyelesaian Persamaan Kuadrat Berbentuk Pecahan Seringkali, suatu persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk pecahan. Untuk memudahkan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, terlebih dahulu menghilangkan penyebut-penyebutnya, yaitu dengan mengalikan setiap suku dengan KPK penyebut. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat berbentuk pecahan adalah sebagai berikut ini: persamaan kuadrat 1 Sumber: Dokumentasi penulis Rumus Persamaan Kuadrat Rumus persamaan kuadrat atau dikenal dengan nama lain rumus abc dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus persamaan kuadrat biasanya digunakan apabila mengalami kesulitan untuk menyelesaikan dengan cara memfaktorkan atau melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat akan diperoleh rumus persaman kuadrat sebagai berikut: rumus persamaan kuadrat Sumber: Dokumentasi penulis Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya Apabila akar-akar suatu persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara yaitu menggunakan faktor, serta rumus jumlah dan hasil akhir akar-akar. Menggunakan faktor Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai: (x – x1) (x – x2) = 0 Menggunakan rumus jumlah dan hasil akar-akar Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka: rumus persamaan kuadrat 1 Sumber: Dokumentasi penulis rumus persamaan kuadrat 3 Sumber: Dokumentasi penulis Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y ∈ R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 Menggambar grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana y = ax2, yakni ketika b = c = 0. Untuk mendapatkan grafiknya dapat dibuat gambar untuk beberapa nilai x dan mensubtitusikannya pada fungsi y = ax2, kemudian buatlah tabel untuk setiap nilai x dan y. Tempatkan titik-titik koordinat yang berada dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut. Grafik fungsi kuadrat Sumber: Dokumentasi penulis Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya: Jika a > 0 maka bentuk grafik akan terbuka ke atas. Jika a < 0 maka bentuk grafik akan terbuka ke bawah. Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka bentuk grafik akan lebih landai. Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka bentuk grafik akan lebih curam. Menggambar Grafik Fungsi y = ax2 + c Menggambar grafik fungsi y = ax2 + c dengan b = 0 dan c ≠ 0. Pertama Buatlah tabel antara setiap nilai x dan y, kemudian tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut. Sifat grafik fungsi y = ax2 + c : Grafik fungsi y = x2 memotong sumbu Y di titik koordinat (0, 0). Grafik fungsi y = x2 + 1 memotong sumbu Y di titik koordinat (0, 1). Grafik fungsi y = x2 – 1 memotong sumbu Y di titik koordinat (0, -1). Grafik fungsi y = x2 + 1 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke arah sumbu Y positif . Grafik fungsi y = x2 – 1 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke sumbu Y negatif. Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai c pada fungsi y = x2 + c akan mempengaruhi geseran y = x2, yaitu sepanjang c satuan ke arah sumbu Y dan grafik fungsi y = x2 + c memotong Sumbu Y di koordinat (0, c). Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bx Menggambar grafik fungsi kuadrat y = x2 + bx ketika c = 0 dan b ≠ 0. Pertama Buatlah tabel antara setiap nilai x dan y, kemudian tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut. grafik fungsi 2 Sumber: Dokumentasi penulis Pada grafik fungsi terdapat: Titik puncak adalah titik tertinggi pada suatu grafik atau sering disebut titik balik dari kenaikan grafik dan sebelum grafik menurun. Sumbu simetri adalah suatu garis vertikal yang membagi suatu grafik sama besar. Pengaruh b pada grafik fungsi y = x2 + bx adalah kemiringan dari garafik. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = x2 + bx + c, dengan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat ini memang menyerupai parabola. Sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola. Nilai a pada fungsi y = x2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif maka grafik nya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih kurus.Nilai b pada grafik y = x2 + bx + c menunjukkan dimana koordinat titik puncak dan sumbu simetri berada . Jika a > 0 maka grafik y = x2 + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0 maka grafik memiliki titik puncak maksimum. Nilai c pada grafik y = x2 + bx + c menunjukan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu Y, yakni pada koordinat (0, c). Baca juga: Perpangkatan dan Bentuk Akar Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Pergeseran Grafik Fungsi Kuadrat Perbandingan Sifat grafik fungsi y = ax2 + bx + c dan y = ax2 + c adalah sebagai berikut: Sifat grafik fungsi y = ax2 + bx + c Grafik fungsi y = (x – 1)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke sumbu X positif. Grafik fungsi y = (x – 2)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan ke sumbu X positif. Grafik fungsi y = (x + 1)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke arah sumbu X negatif Grafik fungsi y = (x + 2)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan ke arah sumbu X negatif. Sifat grafik fungsi y = ax2 + c Grafik fungsi y = x2 + 1 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke arah sumbu Y positif . Grafik fungsi y = x2 + 2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan ke arah sumbu Y positif . Grafik fungsi y = x2 – 1 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 1 satuan ke sumbu Y negatif. Grafik fungsi y = x2 – 2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang 2 satuan ke sumbu Y negatif. Dari perbandingan tersebut dapat disimpulkan bahwa: Grafik fungsi y = (x – s)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke sumbu X positif. Grafik fungsi y = (x + s)2 merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif Grafik fungsi y = x2 + t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang t satuan ke arah sumbu Y positif . Grafik fungsi y = x2 – t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang t satuan ke sumbu Y negatif. Grafik fungsi y = (x – s)2 + t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke sumbu X positif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y positif. Grafik fungsi y = (x – s)2 – t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke sumbu X positif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y negatif. Grafik fungsi y = (x + s)2 + t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y positif. Grafik fungsi y = (x + s)2 – t merupakan geseran grafik y = x2 sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y negatif. Menentukan sumbu simetri dan titik optimum Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri: nilai optimum 1 Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut ini: Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah)! Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu X; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaan f(x1) = 0. Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu Y: yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaan y1 = f(0). Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi. Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3) dan (4). Menentukan Fungsi Kuadrat Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan informasi diantaranya: beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut, titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X dan sumbu Y, titik puncak dan sumbu simetri. Adapun langkah-langkahnya seperti di bawah ini: Memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Jika diketahui beberapa koordinat lain (p, q), maka akan diperoleh f(p) = q. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a (x – p) (x – q). Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu Y pada titik (0, r) maka diperoleh f(0) = r = c. Jika diketahui titik puncak (s, t) dan sumbu simetri adalah garis x = s. Jika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui titik (e, d) maka dengan menggunakan sifat simetri diperoleh titik koordinat yang lain hasil pencerminan (e, d) terhadap garis x = s. Rumus Fungsi Kuadrat Rumus sumbu simetri dan nilai optimum Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai rumus sumbu simetri nilai optimum 1 1. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a (x – p) (x – q). 2. Jika diketahui titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (s, t) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi : ƒ(x) = a (x – s)2 + t. 3. Jika diketahui fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu x di titik (w, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi : ƒ(x) = a (x – w)2 Aplikasi Fungsi Kuadrat Beberapa aplikasi fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari yaitu lompat trampolin, pelemparan koin, pergerakan benda, penentuan volume benda maksimal, luas benda maksimal, tinggi maksimum, dan luas kebun maksimal. Contoh Soal Persamaan Kuadrat Untuk memahami persamaan kuadrat teman-teman bisa melihat contoh soal dan pembahasan persamaan kuadrat berikut: 1. Selesaikanlah persamaan kuadrat x2 – 2x = 15 dengan cara pemfaktoran Pembahasan: x2 – 2x = 15 x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 x = 5 atau x = -3 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat untuk persamaan kuadrat x2 – 2x = 15 adalah x = 5 atau x = -3. 2. Tentukanlah suatu fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + c jika titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (9, 0) dan (3, 0) ! Pembahasan: f(x) = x2 + bx + c à maka a = 1 f(x) = a (x – p) (x – q) f(x) = 1 (x – 9) (x – 3) f(x) = x2 – 12x + 27 Jadi fungsi kuadrat jika titik potong fungsi kuadrat di sumbu X pada titik (9, 0) dan (3, 0) adalah f(x) = x2 – 12x + 27. 3. Tentukanlah suatu fungsi kuadrat ƒ(x) = 2x2 + bx + c dengan titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (7, 2) ! Pembahasan: ƒ(x) = 2x2 + bx + c à maka a = 2 ƒ(x) = a (x – s)2 + t. ƒ(x) = 2 (x – 7)2 + 2 ƒ(x) = 2 (x2 – 14x + 49) + 2 ƒ(x) = 2x2 – 28x + 100 Jadi suatu fungsi kuadrat dengan titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (7, 2) adalah ƒ(x) = 2x2 – 28x + 100. Demikianlah mengenai penjelasan materi persamaan dan fungsi kuadrat. Semoga ini dapat membantu teman-teman dalam memahami materinya ya!